1. Ecuaciones lineales
1. Ecuación con una incógnita
Definición: Una ecuación con una incógnita es de la forma: ax + b=c, donde a, b y c son números reales fijos o constantes.
Observación: Una ecuación con una incógnita: ax+b=c, tiene una sola incógnita, a saber, x.
Ejemplo 1. Hallar la solución de la ecuación: x-5=10.
Solución:
Sumemos 5 en ambos lados de la ecuación, entonces tenemos:
x-5+5=10+5, entonces
x + (-5+5)=15, esto es,
x+0=15.
Por lo tanto;
x=15.
Ejemplo 2. Hallar la solución de la ecuación: 2x-4=12.
Solución:
Sumemos 4 en ambos lados de la ecuación, entonces tenemos:
2x-4+4=12+4, entonces
2x + (-4+4)=16, esto es,
2x+0=16, entonces
2x=16.
Dividamos por 2 en ambos lados, entonces
2x/2=16/2, entonces
(2/2)x=8.
Por lo tanto;
x=8.
Ejemplo 3. Hallar la solución de la ecuación: 2x-4=3x+2.
Solución:
Sumemos 4 en ambos lados de la ecuación, entonces tenemos:
2x-4+4=3x+2+4, entonces
2x + (-4+4)=3x + (2+4), esto es,
2x+0=3x +6, entonces
2x=3x +6.
Sumemos -2x en ambos lados de la ecuación. Entonces
2x-2x=3x+6 -2x, es decir,
0=(3x-2x)+6, entonces
0=1x+6.
Finalmente;
x=-6.
2. Ecuación lineal (ecuación con dos variables)
Definición: Una ecuación lineal es de la forma: y=ax+b, donde a, b son números reales constantes.Observación: Una ecuación lineal y=ax+b tiene dos variables reales, a saber, x e y.
Ejemplo 4. El costo de rentar un auto compacto es de $450 pesos diarios más $2.50 por kilómetro recorrido. Si Uvaldo sólo tiene $750 pesos, ¿qué tan lejos puede llegar?
Solución:
Primero diseñamos el modelo matemático, esto es, la ecuación lineal. Por lo que si n denota el número de kilómetros, y(n) denota la cantidad que debe pagar Uvaldo por los n kilometros, entonces y(n) es la suma del pago inicial, 450, y la cantidad que paga por kilómetro recorrido, 2.50n. De manera que el modelo matemático es el siguiente:
y(n)=450 + 2.50n
Ahora bien; Uvaldo, tiene solamente $750 pesos, por lo que tenemos la siguiente ecuación con una sola incógnita:
750=450+2.50n
Que, al resolverla, se tiene lo siguiente:
750-450=2.50n,
o lo que es lo mismo:
300=2.50n
es decir;
300/2.50=n
Finalmente;
120=n.
Por lo que Uvaldo, tiene lo suficiente para recorrer 120 kilómetros.
Ejemplo 5. La compañia de luz cobra mensualmente mediante una ecuación lineal. La mensualidad consta de dos pagos: El pago mensual por el consumo de luz por $0.05 kilowatts/hora y otro pago por $4 pesos por concepto de trámite. Hallar la ecuación lineal.
Solución:
Mensualidad= pago por consumo de kilowatts/hora + pago por trámite
Sean:
y=mensualidad
x=kilowatts/hora
Ahora bien:
pago por trámite=4
pago por consumo de kilowatts/hora= 0.05x
Por lo que la ecuación lineal queda como:
y=0.05x+4
Ejemplo 6. Una empresa encargada del estacionamiento cobra $15 la primera hora y $3 por 15 minutos adicionales a la primera hora. Si un taxista tiene $40 para el estacionamiento. ¿Cuánto tiempo puede estacionar su taxi?
Solución:
Costo=costo de la primera hora + costo por cada 15 minutos adicionales a la primera hora
C=15 + 3 M, donde M es la unidad de tiempo (15 min).
40=15 + 3M
40 -15=3M
25/3=M
8 1/3=M
Puesto que 1M=15, entonces 8 1/3 M = 125 min.
Por lo que al taxista le alcanza para 125 adicionales a la primera hora.
Por tanto; le alcanza para 185 minutos en total.
3. Ejercicios de ecuaciones lineales para asesorías
Resolver:1. 12(x-3)+1=6(x+1)-5
2. 6m(m-3) + 20 = 8 - 3m(5-2m)
3. x/3 + 7 = 62
4. (x-5) / 9 = (x-25) / 5
5. Dígase el número de alumnos que hay en una sala de computo, sabiendo que la tercera parte están viendo un vídeo en youtube, la cuarta parte están en twitter y los otros 20 en facebook.
6. El costo de rentar un camión es de $650 pesos diarios más $3.50 por kilómetro recorrido. Si Juan sólo tiene $1000 pesos, ¿qué tan lejos puede llegar?
7. Juan renta un auto. Según la tarifa es de $110 por kilometro recorrido y un pago fijo de $450 por concepto de seguro. Determine la ecuación lineal del precio a pagar en términos del kilometraje.
8. Susi tiene un plan para el pago de su internet. Su compañia le cobra $0.30 por kilobyte de descarga. Ella hace un pago de $450. Hallar la ecuación lineal para el saldo de acceso a internet a partir de los kilobytes consumidos.
9. Ecuentra el saldo de una tarjeta de transporte del metro de $200, si el costo por viaje es de $5.
10. Una empresa de aparcacoches cobra $6 por estacionar el coche y $2.5 por cada 15 minutos. Si un taxista tiene $30. ¿Cuánto tiempo puede estacionar el taxi? Considerando que tiene que pagar los $6 adicionales del aparcacoches.