8. Parábola
1. LA PARÁBOLA COMO CÓNICA
Definición: La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de un punto fijo llamado, foco, y la distancia a una recta llamada, directriz, es la misma.
2. Elementos de la parábola
Definición: Si P es un punto de la parábola, F el foco y D la directriz, entonces:
e=PF / PD
e se le llama excentricidad.
Observación: e=1.
3. Ecuación de la parábola con vértice en V(0,0)
Caso 1. Vértice en el origen V(0,0) y foco F(0, p) con p>0.
Caso 2. Vértice en el origen V(0,0) y foco F(0, p) con p<0.
Caso 3. Vértice en el origen V(0,0) y foco F(p,0) con p>0.
Caso 4. Vértice en el origen V(0,0) y foco F(p, 0) con p<0.
4. Traslación de ejes
5. Ecuación de la parábola con vértice en V(h,k)
Caso1. vértice en V(h,k) y foco F(h, k+p) con p>0
Caso2. vértice en V(h,k) y foco F(h, k+p) con p<0
Caso3. vértice en V(h,k) y foco F(h+p, k) con p>0
Caso4. vértice en V(h,k) y foco F(h+p, k) con p<0
6. Ejemplos
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Hallar el vértice, foco y lado recto de la parábola con ecuación: y²-16x-4y=-4.
Solución:
Observemos que la variable que está elevada al cuadrado es y, por lo que la parábola se abre hacia los lados, derecha o izquierda, dependiendo del signo de p.
y²-16x-4y=-4
Agrupando términos con variable y, tenemos:
y² - 4y - 16x = - 4
Completando cuadrados:
y² - 2·2y- 16x = - 4
y² - 2·2y + 4 - 4 - 16x = - 4
(y-2)² - 4 - 16x = - 4
(y-2)² = 16x
(1 / 16) · (y-2)² = x
(1 / 4·4) · (y-2)² = x-0
Por lo que:
V(0, 2)
p=4
El signo de P es positivo, por lo que la parábola se abre hacia la derecha.
Por lo que el foco es:
F(4, 2)=V(0, 2) + (4 , 0)
La ecuación de la directriz:
x=-4
Distancia focal es, el valor absoluto de p:
|4|=4
Lado recto es, cuatro veces la distancia focal:
4·4=16
7. EJERCICIOS PARA ASESORÍA
1. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a) De directriz x = -3, de foco (3, 0).
b) De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
2. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a) De directriz y = -5, de foco (0, 5).
b) De directriz x = 2, de foco (-2, 0).
3. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a)De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
b) De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
4. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a) De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
b) De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
5. Determina el foco, vértice, directriz y longitud del lado recto de la parábola con ecuación.
a) x²+2x-16y=-1
b) x²-4x-16y=-4
6. Determina el foco, vértice, directriz y longitud del lado recto de la parábola con ecuación.
a) x²-10x-12y=-13
b) x²-10x+4y=-13
7. Determina el foco, vértice, directriz y longitud del lado recto de la parábola con ecuación.
a) x²+4x+8y=12
b) y²+12x=12
8. Determina el foco, vértice, directriz y longitud del lado recto de la parábola con ecuación.
a) y²+16x+4y=-4
b) y²+4x+4y=8