10. Hipérbola

1. Hipérbola con centro en el origen

Definición. hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la resta de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante.



Deducción de la ecuación de la hipérbola:







El punto en el vértice V₂ pertenece a la hipérbola por lo que |V₂F₁|-|V₂F₂| es una constante C y la vamos a partir en dos, por lo que C=2a, para algún número positivo a.
Por lo que, si P(x,y) es otro punto sobre la hipérbola tenemos lo siguiente:

                                    |PF₁| - |PF₂|=2a

             √ [(x+c)²+y²] - √ [(x-c)²+y²]=2a

                                    √ [(x+c)²+y²] =2a + √ [(x-c)²+y²]

                              {√ [(x+c)²+y²]}² ={2a + √ [(x-c)²+y²]}²

                                        (x+c)²+y² = 4a² + 4a√ [(x-c)²+y²] + (x-c)²+y² 

                (x+c)² + y² - (x-c)² - y² - 4a² = 4a√ [(x-c)²+y²]  

                                       4cx - 4a² =  4a√ [(x-c)²+y²]  

                                               cx - a² =  a√ [(x-c)²+y²]  

                                            (cx - a²)²=(a√ [(x-c)²+y²])²
    
                                c²x² - 2cxa²+a⁴ = a² [(x-c)²+y²]

                                c²x² - 2cxa²+a⁴ = a²x² - 2cxa²+c²a²+y²a²

                                          c²x² + a⁴ = a²x²+c²a² + y²a²

                                           a⁴ - c²a²= a²x² - c²x² + y²a²

                                          - a⁴ + c²a²= - a²x² + c²x² - y²a²
 
                                        a²(c²- a²)=x²(c²- a²) - y²a²

                                                a²b²=x²b² - y²a²

                                                    1=x²/a² - y²/b²

Definición: e=c/a, e se llama excentricidad.

Observación: e > 1.

Las rectas y=(b/a)x ,  y=-(b/a)x, se acercan tanto como se quiera a las dos ramas de la hipérbola, en tanto se alejan de los  dos focos, respectivamente. Estas rectas se llaman rectas asíntotas oblicuas a la hipérbola. Para un análisis más detallado, ver la sección de rectas asíntotas de límites notables de la página web matematicas4deomar.

2. Hipérbola con excentricidad

3. Hipérbola con centro no en el origen

4. Ejemplos

El próximo teorema muestra la relación entre la hipérbola como ecuación y la hipérbola como función. Para esto, bastará con hacer primero, una traslación de ejes,  y después una rotación de 45 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj del plano cartesiano. Ver la sección de rotación de transformaciones lineales, del curso de matematicaselectasdeomar.

5. EJERCICIOS PARA ASESORIA

1. Determina la ecuación de la hipérbola.
   
   Con vértices: V(4, 0), V(-4, 0).
   Con focos: F(6, 0), F(-6, 0).

    

    

2. Determina la ecuación de la hipérbola.
   
    Con vértices: V(5, 0), V(-5, 0) y uno de sus focos F(8, 0).

    

    

3. Determina la ecuación de la hipérbola.
   
    Con focos: F(6, 0), F(-6, 0) y excentricidad e=2

    

    

4. Determina los vértices y focos de la hipérbola cuya ecuación es: 9x² - 16y² - 18x  - 64y - 199 = 0
   
   
   
   5*. Determina las ecuaciones de las rectas asíntotas a la hipérbola cuya ecuación es: 56x² - 25y² + 448x  + 100y - 604 = 0