5. Función cuadrática
1. Función cuadrática
Definición: Una función cuadrática es una función de la forma:
y=ax²+bx+c
donde x es variable real independiente e y es variable real dependiente, a,b,c son números reales.
2. Ejemplos
1. Consideremos la función cuadrática y=x².Con una tabla podemos ver algunos valores independientes y sus correspondientes.
| x |
y=x² |
| -4 | 16 |
| -3 |
9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Su gráfica es como en la siguiente figura
2. Consideremos la función cuadrática y=-x²+6x-9.
Con una tabla podemos ver algunos valores independientes y sus correspondientes.
| x |
y=-x²+6x-9 |
| 0 | -9 |
| 1 |
-4 |
| 2 | -1 |
| 3 | 0 |
| 4 | -1 |
| 5 | -4 |
| 6 | -9 |
Su gráfica es como en la siguiente figura
3. Suma de áreas de semicírculos en un cuadrado.
3. Tiro vertical
La ecuación de posición en el tiempo t, de un objeto que es lanzado desde una altura h, con velocidad inicial v0, tiene como modelo matemático:
y(t)=(g/2) t² + v0 t + h
donde g=-9.8 m/s² ≈ -10 m/s², es la aceleración de la gravedad.
Por lo que la ecuación de posición es:
Ejemplo1. Calcular la posición de un objeto que se lanza desde el suelo con velocidad inicial 20 m/s en el tiempo 0.5 seg.
Solución:
En nuestro caso, h=0, v0=20m/s, y por tanto; la ecuación de posición es:
y(t)=-5t²+20t
Por lo que y(0.5)=-5(0.5)²+20(0.5)=8.75m
Así que en 0.5 segundos, la posición del objeto es de 8.75 metros.
Ejemplo 2. Si se lanza un objeto verticalmente desde el piso, con velocidad inicial de 25 m /seg.
¿En qué momentos estará a 30 metros del piso?
Solución:
La ecuación de posición está dada por: y=-5t² + 25t
Puesto que la altura y=30, se plantea la ecuación siguiente:
30 = -5t² + 25t
0 = -5t² + 25t - 30
0 = -5(t² - 5t + 6)
0 = -5(t-3)(t-2)
0 = (t-3)(t-2)
0 = t-3 ó 0 = t-2
Por lo que hay dos soluciones:
t=2 y t=3
Animación del tiro vertical.
4.Caída libre
La ecuación de posición en el tiempo t, de un objeto que se deja caer (v0=0) desde una altura h, tiene como modelo matemático:
a(t)=(g/2) t² + h
donde g=-9.8 m/s² ≈ -10 m/s², es la aceleración de la gravedad.
Por lo que la ecuación de posición es:
a(t) = -5 t² + h
Ejemplo 3. Un clavadista se lanza de la plataforma de 10m. ¿Cúanto tiempo tarda en llegar al agua?
Solución:
En nuestro caso, h=10, y por tanto; la ecuación de posición es:
a(t)=-5t² + 10
Hagamos a(t)=0.
Por lo que tenemos 0=-5t²+10, entonces, -10=-5t², es decir, -10/-5=t².
Por lo que; 2=t², con soluciones:
t=√2
t=-√2Pero el tiempo aquí es positivo, por lo que: t=1.41 seg
5. Ejercicios para asesoría
1. Si se lanza un objeto verticalmente, y su altura está dada por y=-5t² + 20t
b) ¿En qué momentos estará a 20 metros de altura?
c) ¿En qué momentos estará a 25 metros de altura?