2. Sistema de ecuaciones lineales

1. ¿QUE ES UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES?

Definición: Un sistema de dos ecuaciones lineales es de la forma:

ax+by=c (1)

dx+ey=f (2)

donde a,b,c,d,e,f son números reales, x e y son variables reales.

2. EJEMPLOS

1. Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

2x+3y=8                (1)

5x -2y=1                (2)

Las soluciones son x=1 y y=2. Efectivamente;

2(1)+3(2)=8                (1)

5(1) - 2(2)=1               (2)

3. METODOS DE SOLUCIÓN

A. IGUALACIÓN

Ejemplo 1. Se compra 3 kilos de manzanas y 2 kilos de duraznos por $90 pesos, luego se compra 5 kilos de manzanas y 4 kilos de durazno por $160 pesos. ¿Cuánto cuesta el kilo de manzanas y durazno?

Solución: Si m es manzanas, d duraznos, entonces tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones:

3m+2d=90            (1)

5m+4d=160        (2)

Despejamos m de la ecuación (1).

m=(90-2d)/3         (3)

Despejamos m de la ecuación (2).

m=(160-4d)/5       (4)

IGUALANDO la ecuación (3) y (4), tenemos:

(90-2d)/3 =(160-4d)/5

Multimplicando por 15 la ecuación anterior, tenemos:

5 (90-2d) =3 (160-4d)

Por la propiedad distributiva de la multiplicación bajo la suma. Tenemos:

450-10d=480-12d

12d-10d=480-450

2d=30

d=30/2

d=15

Para hallar m, podemos sustituir d=15, en cualquiera de las dos ecuaciones originales (1) y (2). En este caso eligimos la ecuación (1). Con lo que tenemos:

3m+2(15)=90

3m+30=90

3m=90-30

m=60/3

m=20.

Ejemplo 2. El plan de pago Tasa preferencial de la compañia Telmóvil requiere de un pago mensual de $200 pesos y de $0.50 pesos por minuto en llamadas realizadas. El plan de servicio básico no tiene pago mensual, pero se tiene que pagar $4.50 pesos por minuto en llamadas realizadas. Determina el número de minuntos que Uvaldo debe realizar para que los dos planes tengan el mismo costo.

Solución:

Primero haremos los modelos matemáticos para los dos planes. Así que; si n representa el número de minutos en llamadas, el plan tasa preferencial, es la suma de el costo mensual, $200 pesos y, 0.50n pesos. Esto es; la ecuación

y₁(n)= 200 + 0.50n

Ahora; para el plan, servicio básico, el costo es de únicamente el importe de las llamadas, esto es, 4.50n pesos.

y₂(n)=4.50n

Ahora bien: igualamos y₁(n) e y₂(n), es decir:

200+0.50n=4.50n

Que al resover

200=4.50n-0.50n

O sea

200=4n

equivalentemente

200/4=n

Es decir:

50=n

Por lo que, Uvaldo, tendrá que hacer 50 minutos, al mes, en llamadas para que los dos planes tengan el mismo costo.

Ejemplo 3. Carlos y Juan son corredores de fondo. Carlos que corre a una velocidad de 8m/seg, le da una ventaja de 12 metros a Juan que corre a una velocidad de 6 m/seg. ¿En qué momento Carlos alcanza a Juan?

Solución:

Sabemos por física que v(t)=d(t)/t, lo que implica que, d(t)=v(t)*t.
Ahora; si d_C(t)=8 t, es la distancia recorrida por Carlos en el tiempo t.
Si d_J(t)=12 + 6 t, es la distancia recorrida por Juan en el tiempo t.
Igualando las distancias d_C(t)= d_J(t).
Esto es; 8t=12+6t, es decir; 8t-6t=12, lo que implica, 2t=12, o sea; t=12/2, t=6 seg.
Por lo que al cabo de 6 segundos, Carlos alcanza a Juan.

B. SUSTITUCIÓN

C. RESTA

D. SUMA

E. DETERMINANTES

∆=	3	2	=34-52=12-10=2
	5	4

∆_m=	90	2	=904-1602=360-320=40
	160	4

∆_d=	3	90	=1603-905=480-450=30
	5	160

Por lo que entonces:

m=∆_m/∆=40/2=20

d=∆_d/∆=30/2=15

Ejemplo 2. Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Después de 15 años la edad de Ana será el doble de su hijo.
¿Cuál es la edad actual de Ana y Jaime?

Solución:

a=edad actual de Ana.

j=edad de Jaime.

a+15=edad de Ana dentro de 15 años.

j+15=edad de Jaime dentro de 15 años.

Por lo que tenemos el iguiente sistema de ecuaciones lineales:

a=3j                         [1]

a+15 = 2 (j+ 15)     [2]

ordenando el sistema tenemos:

a-3j=0        [3]

a-2j=15      [4]

Ahora bien, calculando determinantes:

∆=|1    - 3 | =1
     | 1   -2 |

∆_a= | 0 -3 | = 45
        | 15 -2 |

∆_j=| 1    0 | =15
      | 1 15 |

Por lo que:

a=∆_a / ∆= 45

j=∆_j / ∆ =15

Ejemplo 3.

4. EJERCICIOS PARA ASESORÍAS

Si se quiere pagar la suma de $1600 con 110 monedas de $20 y $10, ¿cuántas monedas de cada clase se deberán entregar?
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
Se tienen $120.00 en 33 monedas de a $5 y de a $2. ¿Cuántas monedas son de $5 y cuántas de $2?
David y Adrian son corredores de fondo. David que corre a una velocidad de 7m/seg, le da una ventaja de 100 metros a Adrian que corre a una velocidad de 5 m/seg. ¿En qué momento David alcanza a Adrian?
¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?
Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?
El plan de pago Tasa preferencial de la compañia Telmóvil requiere de un pago mensual de $300 pesos y de $0.50 pesos por minuto en llamadas realizadas. El plan de servicio básico no tiene pago mensual, pero se tiene que pagar $3.50 pesos por minuto en llamadas realizadas. Determina el número de minuntos que Uvaldo debe realizar para que los dos planes tengan el mismo costo.
Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?
Averiguar el número de animales de una granja sabiendo que la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas es 402.

El perímetro de un rectángulo es 28 m y el lado mayor excede en 2 m al lado menor. Hallar el área del rectángulo.