9. Elipse

1. Elipse con centro en el origen

Definición. Elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante.

Deducción de la ecuación de la elipse:






El punto en el vértice V₂ pertenece a la elipse por lo que |V₂F₁|+|V₂F₂| es una constante C y la vamos a partir en dos, por lo que C=2a, para algún número positivo a.
Por lo que, si P(x,y) es otro punto sobre la elipse tenemos lo siguiente:

                                    |PF₁| + |PF₂|=2a

             √ [(x+c)²+y²] + √ [(x-c)²+y²]=2a

                                    √ [(x+c)²+y²] =2a- √ [(x-c)²+y²]

                              {√ [(x+c)²+y²]}² ={2a- √ [(x-c)²+y²]}²

                                        (x+c)²+y² =4a²- 4a√ [(x-c)²+y²] + (x-c)²+y² 

                (x+c)²+y² - (x+c)²-y² -4a²=- 4a√ [(x-c)²+y²]  

                                           4cx -4a²=- 4a√ [(x-c)²+y²]  

                                               cx -a²=- a√ [(x-c)²+y²]  

                                            (cx -a²)²=(- a√ [(x-c)²+y²])²
    
                                c²x² -2cxa²+a⁴=a² [(x-c)²+y²]

                                c²x² -2cxa²+a⁴=a²x²-2cxa²+c²a²+y²a²

                                          c²x²+a⁴=a²x²+c²a²+y²a²

                                          a⁴ - c²a²=a²x²- c²x²+y²a²
 
                                        a²(a² - c²)=x²(a²- c²)+y²a²

                                                a²b²=x²b²+y²a²

                                                    1=x²/a²+y²/b²

Definición: e=c/a, e se llama excentricidad.

Observación: Puesto que c<a, entonces e < 1.

2. Elipse con excentricidad

3. Elipse con centro no en el origen

En este caso a es el semieje mayor y b el semieje menor.

4. Ejemplos

1. Hallar los focos y vértices de la ecuación de la elipse: 16x²+52y²-144x-520y+1572=0




Solución:


16x²+52y²-144x-520y+1572=0

16x²+52y²-144x-520y=-1572

16x²-144x+52y²-520y=-1572

16(x²-9x)+52(y²-10y)=-1572

16(x²- 2 · 4.5x + 20.25 - 20.25)+52(y²-2 · 5y + 25 - 25)=-1572

16[(x - 4.5)² - 20.25]+52[(y - 5)² - 25]=-1572

16(x - 4.5)² - 324 +52(y - 5)² - 1300=-1572

16(x - 4.5)² +52(y - 5)² = 324+1300-1572

16(x - 4.5)² +52(y - 5)² = 52

16/52(x - 4.5)² +52/52(y - 5)² = 52/52

(x - 4.5)² / (52/16) + (y - 5)² / 1 = 1

(x - 4.5)² / (√52/√16)² + (y - 5)² / 1² = 1

(x - 4.5)² / (√13/2)² + (y - 5)² / 1² = 1

Por lo que el centro de la elipse es:

C(4.5, 5)

El semieje mayor es:

a=√13/2 ≈ 1.8

 

El semieje menor es:

b=1

La distancia focal es:

c=√ [(√13/2)² - 1²]=√ [(13/4) - 4/4]=√ (9/4)=3/2=1.5

Por lo que las coordenadas de los focos son:

F₁(3,5), F₂(6,5) 

Las coordenadas de los vértices del eje mayor son:

V₁(2.7,5), V₂(6.3,5) 


Las coordenadas de los vértices del eje menor son:

V₃(4.5,4), V₄(4.5,6) 

2. La órbita de la tierra alrededor del sol, que es uno de los focos, es una elipse con excentricidad aproximada de 1/62. Si sabemos que el semieje mayor es de 149.60 millones de kilómetros. Hallar la distancia máxima entre el sol y la tierra (Afelio), la distancia mínima entre el sol y la tierra (Perihelio).

Solución:

Puesto que: e=c/a, entonces:

1/62 = c / 149.60 X 10⁶, entonces:

c=1/62 · 149.60 X 10⁶=2.41 X 10⁶.

Por lo que:

Afelio=a + c=149.60 X 10⁶ + 2.41 X 10⁶=152.01 X 10⁶ kilometros.
Perihelio=a - c=149.60 X 10⁶ - 2.41 X 10⁶=147.19 X 10⁶ kilometros.

5. EJERCICIOS PARA ASESORIA

1. Determina la ecuación de la elipse.
   
    Con vértices: V(4, 0), V(-4, 0) y F(2,0), F(-2,0).

    

    

2. Determina la ecuación de la elipse.
   
    Con vértices: V(5, 0), V(-5, 0) y uno de sus focos F(3, 0).

    

    

3. Determina la ecuación de la elipse.
   
    Con focos: F(6, 0), F(-6, 0) y excentricidad e=0.6

    

    

4. Determina los vértices y focos de la elipse cuya ecuación es: x²+4y²+6x-16y+9=0