3. Inecuaciones lineales
1. Inecuaciones lineales
Definición: Una inecuación lineal es de la forma:y≦ax+b
donde a, b son números reales.
Observación: Una inecuación lineal y≦ax+b tiene dos variables reales, a saber, x e y.
Definición: Una inecuación lineal con una variable es de la forma: c≦ax + b, donde a, b y c son números reales.
Observación: Una inecuación lineal con una variable c≦ax+b tiene una sola variable real, a saber, x.
2. Ejemplos
1. Hallar la solución de la inecuación x-5<10.Solución: Sumemos 5 en ambos lados de la inecuación, entonces tenemos: x-5+5<10+5, entonces x + (-5+5)<15, esto es, x+0<15, por lo tanto; x<15. Es decir; el intervalo:
(-∞, 15)
2. Hallar la solución de la inecuación 2x-4≦12.
Solución: Sumemos 4 en ambos lados de la inecuación, entonces tenemos: 2x-4+4≦12+4, entonces 2x + (-4+4)≦16, esto es, 2x+0≦16, entonces 2x≦16. Dividamos por 2 en ambos lados. Entonces 2x/2≦16/2, entonces (2/2)x≦8. Por lo tanto; x≦8. Es decir; el intervalo (-∞, 8]
3. Hallar la solución de la inecuación 2x-4≦3x+2.
Solución: Sumemos 4 en ambos lados de la inecuación, entonces tenemos: 2x-4+4≦3x+2+4, entonces 2x + (-4+4)≦3x + (2+4), esto es, 2x+0≦3x +6, entonces 2x≦3x +6. Sumemos -2x en ambos lados de la inecuación. Entonces 2x-2x≦3x+6 -2x, es decir, 0≦(3x-2x)+6, entonces 0≦1x+6. Finalmente; -6≦x. Es decir; el intervalo [-6, ∞).
4. En la panadería de la esquina se tienen dos opciones de venta de bolillo. La primera opción, consiste en pagar $3 pesos por bolillo y $1 peso por concepto de bolsa chica. La segunda opción, es pagar $2.5 por bolillo si se compra más de 10 piezas y $3 pesos por concepto de bolsa grande.
A) ¿Para qué cantidad de bolillos, la opción 1 es mejor que la opción 2?
B) Si se tienen $100 para comprar bolillos. ¿Qué opción conviene?
Solución: Las ecuaciones lineales para los costos de bolillos de la primera y segunda opción son: O1= 3b +1 y O2=2.5b +3, respectivamente.
Veamos cuando la opción 1 es mejor que la opción 2, esto es; O1 ≦ O2
3b +1 ≦ 2.5 b +3 ⇔ 3b -2.5 b ≦ 3-1 ⇔ 0.5 b ≦ 2 ⇔ b ≦ 2 / 0.5 ⇔ b ≦ 4 ⇔ b ∊ [0, 4].
Por tanto, la opción 1 es mejor que la opción 2, siempre que se compren no más de 4 bolillos (incluso, cuando no se compren bolillos).
Por otro lado, la opción 2 es mejor que la opción 1, cuando se compren más de 4 bolillos.
Es claro que, con $100 pesos, se puede comprar más de 4 bolillos. De hecho;
O2 ≦ 100 ⇔ 2.5b +3 ≦ 100 ⇔ 2.5b ≦ 100- 3 ⇔ 2.5b ≦ 97 ⇔ b ≦ 97/2.5 ⇔ b ≦ 38 + 4/5. Es decir, con $100 pesos se pueden comprar hasta 38 bolillos. Por tanto, para $100 pesos, es mejor la opción 2.
5. Una compañía telefónica contempla dos tipos de planes para sus usuarios. Tarifa Preferencial: Que consta de una mensualidad de $350 y $1.2 por minuto en llamadas. Servicio Básico: Que consiste en $4.5 por minuto en llamadas.
A) Si un usuario hace un promedio de 45 minutos al mes, ¿Cuál plan le conviene al usuario?
B) Si un usuario hace un promedio de 200 minutos al mes, ¿Cuál plan le conviene al usuario?
Solución: Si n es el número de minutos en llamadas al mes, entonces las ecuaciones lineales para la tarifa preferencial y servicio básico estan dadas por: TP = 350+1.2n y SB = 4.5n, respectivamente.
Ahora bien; supongamos que tarifa preferencial es mejor que el servicio básico, esto es: TP ≦ SB, es decir, 350+1.2n ≦ 4.5n ⇔
350 ≦ 4.5n -1.2n ⇔
350 ≦ (4.5-1.2)n ⇔
350 ≦ 3.3n ⇔
350/3.3 ≦ n ⇔
106.06 ≦ n ⇔
n ∊ [106.06, ∞).
Por tanto, n ∊ [106.06, ∞) ⇔ TP ≦ SB.
Por otro lado; n ∊ [0, 106.06) ⇔ TP > SB.
A) Puesto que el usuario hace 45 min al mes y 45 ∊ [0, 106.06), entonces le conviene SB.
B) Puesto que el usuario hace 200 min al mes y 200 ∊ [106.06, ∞), entonces le conviene TP.
3. EJERCICIO PARA ASESORIAS
1. Resolver la siguiente inecuación: 5x + (5 / 7) > 4x + 7
2. Resolver la siguiente inecuación: 2x-3 > (20x-3) / 8
3. Resolver la siguiente inecuación: (x-4)(x+5) < (x-3)(x-2)
4. En un parque de diversiones hay dos planes para los clientes: Plan A: que consiste en un pase anual con un costo de $560 al año y $1.5 por juego mecánico. Plan B: Sin pase anual, pero de $35 por cada juego mecánico. ¿Cuántos juegos mecánicos tendrá que pagar un cliente para que le convenga el Plan A?
5. Una compañía telefónica contempla dos tipos de planes para sus usuarios. Tarifa Preferencial: Que consta de una mensualidad de $350 y $0.6 por minuto en llamadas. Servicio Básico: Que consiste en $4.5 por minuto en llamadas. Si un usuario hace un promedio de 45 minutos al mes, ¿Cuál plan le conviene al usuario?.
6. Un cliente tiene dos opciones de membresías en un un club de golf: Una membresía social cuesta $1850 en cuota anual. Además $80 por el carrito de golf cada vez que juegue. Una membresía de golf que cuesta $2750 en cuota anual. Con ésta el cliente sólo pagaría $30 por el carrito cuando juegue. ¿Cuántas veces por año necesitará jugar el cliente para que le convenga la membresía social?.
7. Una persona vive en un desarrollo turístico de una isla comunicado con tierra firme por un puente de peaje. La cuota es de $30 por automóvil que va a la isla, pero no hay pago para salir de la isla. Los residentes de la isla pueden comprar un pase mensual por $250, que les permite cruzar el puente por sólo $4 cada vez. ¿Cuántas veces al mes le conviene a la persona, el pase mensual?
8. El costo de rentar un auto tiene dos planes mensuales para sus miembros: Plan A: una mensualidad de $500 y $10 por kilómetro recorrido. Plan B: no tiene mensualidad pero el costo por kilómetro recorrido es de $45. ¿Cuál plan le conviene a un cliente si el hace un promedio de 18 km al mes?.
9. En la panadería de la esquina se tienen dos opciones de venta de bolillo. La primera opción, consiste en pagar $4 pesos por bolillo y $1 peso por concepto de bolsa chica. La segunda opción, es pagar $3.5 por bolillo si se compra más de 10 piezas y $3 pesos por concepto de bolsa grande.
B) Si se tienen $60 para comprar bolillos. ¿Qué opción conviene?