5.1 Fórmula general
1. Fórmula general de ecuaciones cuadráticas
Teorema: Dada la ecuación ax²+bx+c=0, con a≠0, entonces las dos soluciones son:x1 = [-b+√(b² - 4 a c)] / [2a]
x2 = [-b - √(b² - 4 a c)] / [2a]
Demostración:
ax²+bx+c=0
x² + b/a x + c/a=0
x² + b/a x = -c/a
x² + b/a x + (b/2a)² = (b/2a)² - c/a
(x + b/2a)² = (b/2a)² - c/a
(x + b/2a) = ± √ {(b/2a)² - c/a}
x = - b/2a ± √ {b²/4a² - 4ac/4a²}
x = - b/2a ± √ {(b²- 4ac) / (4a²)}
x = - b/2a ± √ (b²- 4ac) / √ (4a²)
x = - b/2a ± √ (b²- 4ac) / (2a)
x = {- b ± √ (b²- 4ac)} / (2a)
2.Ejemplos
Hallar las dos soluciones de la ecuación:
x²+2x-15=0
En este caso a=1, b=2 y c=-15.
Por lo que:
x1,2 = {- 2 ± √ [2² - 4(1)(-15)] } / {2(1)}
x1,2 = {- 2 ± √ [4 + 60] } / {2(1)}
x1,2 = {- 2 ± √64 } / {2(1)}
x1,2 = {- 2 ± 8 } / {2(1)}
Por lo que la primera solución es:
x1 = {- 2 + 8 } / {2(1)}
x1 = 6 / 2
x1 = 3
La segunda solución es:
x2 = {- 2 - 8 } / {2(1)}
x2 = -10 / 2
x2 = -5
Ejemplo 2.
Hallar las dos soluciones de la ecuación:
3x²+9x-30=0
En este caso a=3, b=9 y c=-30.
Por lo que:
x1,2 = {- 9 ± √ [9² - 4(3)(-30)] } / {2(3)}
x1,2 = {- 9 ± √ [81 + 360] } / {6}
x1,2 = {- 9 ± √441 } / 6
x1,2 = {- 9 ± 21 } / 6
Por lo que la primera solución es:
x1 = {- 9 + 21 } / 6
x1 = 12 / 6
x1 = 2
La segunda solución es:
x2 = {- 9 - 21 } / 6
x2 = -30 / 6
x2 = -5
Ejemplo 3.
Ejemplo 4 :
Ejemplo 5 :
Ejemplo 6 :
Ejemplo 7.
3. Ejercicios para asesoría
1. Hallar las dos soluciones de la siguiente ecuación:
6x²-72x+120=0
2. Hallar las dos soluciones de la siguiente ecuación:
4x² + 12x - 280=0