6.1 Completar cuadrado
1. Completar cuadrado para Ax²+Bx+C, con agregado
CASO 1.
Ejemplo 1: Completar el siguiente binomio para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.
x²+ 6x
Solución:
Observemos que el coeficiente de 6x, es 6 y este se puede escribir como: 6 = 2(6/2)=2(3)
Vamos a agregar 3²=9, a la expresión:
Por lo que:
x²+6x + 9 =
=x²+2(3)x + (3)² =
=(x+3)²
Por lo tanto;
x² + 6x + 9 = (x +3)²
Ejemplo 2: Completar el siguiente binomio para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.
x² - 5x
Solución:
Observemos que el coeficiente de 5x es 5 y este se puede escribir como: 5 = 2(5/2)
Vamos a agregar (5/2)²=25/4.
x² - 5x + 25/4 =
= x² - 2(5/2)x + (5/2)² =
= (x - 5/2)²
Por lo tanto;
x² - 5x + 25/4 = (x -5/2)²
Ejemplo 3: Completar el siguiente binomio para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.
x² + 8x + 1
Solución:
Observemos que el coeficiente de 8x, es 8 y este se puede escribir como: 8 = 2(4)
Ahora bien; 4²=16.
Vamos a agregar sólo 15, ya que 16=1+15
x² + 8x + 1 + 15 =
= x² + 2(4)x + 4² =
= (x +4)²
Por lo tanto;
x² + 8x + 1 + 15 = (x +4)²
CASO 2.
Ejemplo 4: Completar el siguiente binomio para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.
4x²+ 6x
Solución:
Primero veamos que podemos expresar a 4 como un cuadrado, esto es; 4=2², por lo que podemos escribir la expresion algebraica como:
4x²+ 6x=(2x)² + 6x
Observemos que el coeficiente de 6x, es 6 y este se puede escribir como: 6= 2(2)(3/2), donde 2 es la raíz cuadrada de 4, el coeficiente de 4x².
Vamos a agregar (3/2)²=9/4, a la expresión:
Por lo que:
4x²+6x + 9/4 =
=(2x)²+2(2x)(3/2) + (3/2)² =
=(2x+3/2)²
Por lo tanto;
4x² + 6x + 9/4 = (2x +3/2)²
CASO 3.
Ejemplo 5: Completar el siguiente binomio para que se convierta en un trinomio cuadrado perfecto.
2x²+ 6x
Solución:
Primero veamos que podemos factorar a 2, por lo que podemos escribir la expresion algebraica como:
2x²+ 6x=(2)(x² + 3x)
Ahora completamos cuadrado a la expresión algebraica que está dentro del paréntesis.
(x² + 3x)
Entonces, el coeficiente de 3x, es 3 y este se puede escribir como: 3= 2(1)(3/2)
Vamos a agregar (3/2)²=9/4, a la expresión dentro del paréntesis:
Por lo que:
(x² + 3x + (9/4) )=
=(x²+2(1)(3/2) + (3/2)² ) =
=(x + 3/2)²
Por lo tanto;
2x²+6x + 2(9/4) = 2(x + 3/2)²
2. Completar cuadrado para Ax²+Bx+C, sin agregado
CASO 1.
Ejemplo 6: Completar cuadrados para la siguiente expresión
x² - 3x +9
Solución:
Observemos que el coeficiente de 3x es 3 y este se puede escribir como: 3 = 2(3/2)
Vamos a "agregar" 0 en la expresión, esto es; 0=9/4 - 9/4, donde 9/4=(3/2)²
Por lo que:
x² - 2(3/2)x + 0 + 9 =
=x² - 2(3/2)x + 9/4 - 9/4 + 9 =
=(x - 3/2)² -9/4 + 36/4= (x- 3/2)² + 27/4
Entonces:
x² - 3x +9=(x- 1.5)² + 6.75
CASO 2.
Ejemplo 7: Completar cuadrados para la siguiente expresión
9x² - 12x +1
Solución:
Observemos que el coeficiente de 12x, es 12 y este se puede escribir como: 12 = 2(3)(2), donde 3 = √9 y 9 es el coeficiente del término cuadrático, esto es, de 9x².
Vamos a "agregar" 0 en la expresión, esto es; 0=4 - 4, donde 4=(2)²
Por lo que:
9x² - 2(3)(2)x + 0 + 1 =
=(3x)² - 2(3)(2)x + 4 - 4 + 1 =
=(3x - 2)² - 4 + 1= (3x- 2)² - 3
Entonces:
9x² - 12x +1=(3x - 2)² - 3
Observación: En este ejemplo, el coeficiente del término 3x, que está dentro del parentesis, (3x - 2)², es 3.
Existe un forma de escribir una expresion algebraica al completar cuadrados y lo vamos a ver en el siguiente ejemplo:
CASO 3.
Ejemplo 8: Completar cuadrados para la siguiente expresión
3x² - 12x +1
Solución:
Primero vamos a factorar el coeficiente de 3x², esto es; 3.
Entonces:
3x² - 12x +1=3(x² - 4x) +1
Ahora vamos a completar el cuadrado en la expresión algebraica que está dentro del paréntesis, es decir:
(x² - 4x)
Observemos que el coeficiente de 4x, es 4 y este se puede escribir como: 4 = 2(1)(2).
Vamos a "agregar" 0 en la expresión, esto es; 0=4 - 4, donde 4=(2)²
Por lo que:
3x² - 12x + 1 =
=3(x² - 4x)+1=
=3(x²- 2(1)(2)x + 4 - 4) + 1
=3(x²- 2(1)(2)x + (2)² - 4) + 1
=3((x-2)² - 4) + 1=
=3(x - 2)² - 3(4) + 1=
=3(x- 2)² - 12+1=
=3(x- 2)² - 11
Entonces:
3x² - 12x +1=3(x - 2)² - 11
En esta última expresión, el coeficiente de x que está dentro del paréntesis, (x - 2)², es 1.
Esto es a lo que nos referiamos a la forma de escribir la expresión algebarica al completar cuadrados.
Ejemplo 9:
3. Ejercicios para asesoría.
1. Remplazar el espacio en blanco el número para que sea verdadera la igualdad:
a. x² +14x + ___ = (x + ___ )²
b. x² - 5x + ___ = (x - ___ )²
c. x² + 3/4 x + ___ = (x + ___ )²
2. Completar cuadados (sin agregado) para las siguientes expresiones:
a. x² - 3x +5
b. x² + 4x + 6
c. 2x² + 8x + 12